LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR)

LINEAR QUADRATIC REGULATOR (LQR)

Hai semuanya, Saya seorang mahasiswa Teknik Elektro. Aku sedang dalam proyek tahun akhir sekarang. Ada sebuah pertanyaan : Apa keuntungan dan kelemahan dari menggunakan desain metode dari LQR (Linier Kuadratik Regulator) ? Apakah selalu berhasil?

Singkatnya, metode desain linear kuadratik regulator melibatkan penentuan dari sinyal input yang akan menggunakan sistem linear dari initial state yang diberikan  x(t0) ke final state x(tf) saat meminimalkan cost dari cost functional nya. Cost functional yang dimaksud adalah integral waktu dari kuadrat dalam bentuk state vektor x dan input vector u seperti x ^ TQx + u ^ TRU dimana Q adalah matriks non-definit negatif dan R adalah matriks definit positif. Dengan definisi dasar ini, berbagai hasil dari masalah desain linear kuadratik regulator dapat dikemukakan, misalnya, finite horizon (tf finite), infinite horizon (tf infinite), waktu yang bervariasi (dari sistemnya, matriks R dan Q itu sendiri, atau keduanya), dll. Dan Juga, final state itu sendiri yang mungkin atau juga tidak mungkin dapat membantu pada cost functional sebagai istilah yang terpisah.

Keuntungan utama adalah bahwa sinyal input u (t) yang optimal ternyata diperoleh dari umpan balik full state;

Yaitu u = Kx untuk beberapa matriks K.

umpan balik dari matriks K tersebut diperoleh dengan memecahkan persamaan Ricatti yang terkait dengan masalah LQR tertentu yang kita tangani. Salah satu kelemahan dari kontroler LQR adalah bahwa untuk mendapatkan solusi analitik untuk persamaan Ricatti cukup sulit dalam semua kasus kecuali kasus yang paling sederhana.

Walaupun demikian, ada beberapa metode numerik yang dapat kita terapkan untuk mendapatkan solusi yang cukup tepat (periksa Matlab control toolbox, untuk contoh).

Apakah LQR selalu berhasil?

Ini sedikit meragukan: hal ini tergantung pada apa yang Anda maksud dengan "berhasil" :-))) Jika Anda bertanya apakah Anda akan selalu dapat memecahkan masalah optimasi tertentu yang Anda miliki menggunakan LQR, jawabannya adalah "Tidak ". Alasannya sederhana:  solusi untuk masalah LQR tertentu diperoleh dengan asumsi implisit bahwa final state yang diinginkan dapat dicapai dari initial state yang diberikan.  Jika hal ini tidak mungkin, maka Anda tidak dapat membangun semua input u (t) – hanya mengoptimalkan saja - untuk memenuhi syarat utama untuk adanya sebuah solusi; yang anda akan benar-benar dapat mencapai final state!

Bahkan jika Anda berhasil memecahkan LQR itu, tidak ada jaminan bahwa sistem loop tertutup yang dihasilkan akan stabil atau berkerja dengan baik dengan cara lain; misalnya, state yang "tidak dapat diamati" dari sudut pandang cost functional mungkin akan tidak stabil. dan controller Anda berakhir dengan tidak disadari disebabkan state tertentu yang tidak memiliki kaitan pada desain itu, hal ini  "tidak teramati",

Selain dari masalah abstrak ini, ada banyak masalah lain dengan implementasinya:
1) umpan balik dari full state sulit didapat: Anda seperti hanya memiliki sedikit keluaran hasil dari yang diperlukan untuk "menyimpulkan" informasi sebuah state melalui pengamat state. Gunakan hasil dari pengamatan berdasarkan umpan balik dalam konteks desain LQR, dan keadaan akan cepat menjadi rumit.

2) Desain LQR standar tidak menempatkan batasan pada input sinyal u (t) amplitudo. Input yg telah optimal tadi,  juga ternyata memiliki amplitudo yang jauh di atas generator sinyal / membawa kapasitas sistem sesungguhnya (baca: saturasi, sekring meledak, dll)

Yang terakhir, tidak utk mengesampingkan control optimal, tapi mengoptimalkan kinerja sistem terhadap satu kriteria tunggal (seperti kuadarat dari cost functional yg akan diminimalkan dalam desain LQR) yang berarti biasanya mengorbankan kinerja sistem secara keseluruhan mengacu terhadap kriteria lainnya. Filter LQR akan dengan tepat berkrja sesai dengan yang telah kita rancang: meminimalkan cost matrix. Anda sebagai desain engineerlah yang memutuskan Apakah ini  sesuai  dengan  tujuan dari desain yang anda buat.

Keuntungan dari LQR
1) Stabilitasnya terjamin jika Anda memiliki :
a) semua state dari sistem yang tersedia untuk umpan balik
dan
b) model yang benar-benar baik dari sistem anda.
Bahkan, tidak hanya stabilitasnya yang terjamin, tapi stabilitas
_margins_ nya juga terjamin.

2) Controller secara otomatis dihasilkan hanya dengan sederhana
memilih beberapa parameter (tidak perlu melakukan bentuk-loop)

Kelemahannya :
1) Jika yang anda ketahui dari sistem anda terutama hanya eksperimental, Anda
tidak dapat menggunakan eksperimental Bode plot sendiri untuk melakukan bentuk-loop, namun
Anda harus memperoleh model dari data eksperimen.

2) Jika Anda tidak dapat mengukur semua state, Anda harus menggunakan observer
untuk merekonstruksinya (LQG). Stabilitas masih terjamin (jika
Anda memiliki model sempurna dari sistem anda), tetapi stabilitas margin
mungkin akan kecil.

3) Jika model sistem Anda tidak lengkap (unmodeled dynamics),
mungkin sulit untuk mendapatkan controller yang bekerja dengan cara yang Anda
inginkan.

4) Parameter yang digunakan untuk menghasilkan controller
umumnya tidak langsung berkaitan dengan cara yang intuitif terhadap
persyaratannya, tetapi  hanya "tombol-tombol"  yang diputar untuk mendapatkan
efek yang diinginkan.

LQR adalah controller yang optimal. Optimal dalam hal yang telah didefinisikan, sehingga untuk memberikan kemungkinan kesalahan terkecil  yg muncul pada input, yaitu satu atau lebih dari output sistem terkontrol (atau 'plant'), dikombinasikan dengan meminimalkan output kontrol. Dibandingkan dengan LQR, kontroler PID hanya menciptakan sistem yang stabil, tanpa secara eksplisit mengoptimalkan apapun (Keuntungan # 1). LQR juga mudah digunakan untuk sistem multivariabel; desain prosedur yang pada dasarnya sama dengan system single-input single-output (Keuntungan # 2).

kontrol  LQR dihitung berdasarkan model linier dari plant yang di kontrol. Jika model linier benar-benar menunjukkan plant dengan tepat, maka kontrolernya optimal. Namun, jika terdapat ketidaksesuaian karena ketidaktelitian dari model (yaitu parameter dari model linier), perubahan pada pant (misalnya perubahan dalam kecepatan kendaraan dan mesin atau power level dari power plant) atau kenonlinieran (yaitu sistem sebenarnya tidak linier) maka kontroller yang dihasilkan akan menurun dan sistem bahkan mungkin akan menjadi tidak stabil (Kerugian # 1).

LQR itu adalah kontroler dari state umpan balik . state dari sistem dapat memiliki beberapa arti fisik (misalnya kecepatan, percepatan), tetapi kadang-kadang mereka tidak memiliki interpretasi fisik sama sekali. Akibatnya ada kesulitan untuk mendapatkan state tersebut yang akan digunakan untuk umpan balik. Untuk menyiasatinya, fungsi lainnya diperlukan, yang disebut observer, yang memperkirakan nilai-nilai dari state tersebut. Hal ini membuat sistem bahkan lebih kompleks. (Kerugian # 2).

Apakah selalu berhasil?

Tidak selalu. Anda tidak bisa begitu saja menerapkan teknik desain control ‘tingkat tinggi’ seperti LQR dan berharap semua berhasil tanpa beberapa usaha. Hal tersebut selalu membutuhkan sound engineer untuk menghindari beberapa masalah. Misalnya, data dari panjang kata yang terbatas (dalam implementasi komputer digital) dapat menjadi masalah,
tetapi hal ini juga dapat (hampir) selalu diringankan.

Masalah potensi utamanya adalah bahwa 'plant’ ini hampir tidak pernah linier dengan parameter yang diketahui secara tepat. Oleh karena itu, Anda harus memunculkan beberapa
perbedaan terhadap variasi parameter / ketidaktentuan selama desain control anda. Dan juga, Anda mungkin harus melakukan beberapa waktu-pemasukkan atau switching antara pengendali tunggal untuk memperhitungkan perubahan dalam kondisi operasi (misalnya kecepatan pesawat atau ketinggiannya). Seperti disebutkan di atas, pelaksanaan kontroler LQR memerlukan beberapa usaha.

Jika Anda ingin menyelidiki lebih dalam tentang teori pada desain LQR, implementasi dan kelemahannya, ada banyak informasi yg dapat ditemukan dalam beberapa textbook dan dalam Kontrol Otomatis  pada Transaksi IEEE dan pada jurnal akademik lainnya, yang mungkin ada pada perpustakaan kampus anda. Mungkin pembimbing proyek Anda bisa mengarahkan Anda jika Anda perlu untuk masuk ke detail tersebut.

Nah, jika ada yang mau script MATLAB nya, silahkan tulis komentar di bawah ini )